Bí Mật Động Lực Học Chất Lỏng: Phương Trình Navier-Stokes Vĩ Đại Bất Ngờ ‘Thiếu Sót’ Sau 115 Năm!

Vào năm , nhà toán học vĩ đại David Hilbert đã đưa ra một danh sách gồm bài toán chưa có lời giải, định hướng cho sự phát triển của toán học thế kỷ . Trong số đó, có một bài toán đặc biệt khác biệt: nó không chỉ thách thức giới hạn của toán học, mà còn yêu cầu kết nối vũ trụ toán học với thế giới vật lý thực tế. Đó là bài toán thứ sáu của Hilbert, kêu gọi các nhà nghiên cứu phải “axiomat hóa” các định luật vật lý – tức là xây dựng chúng một cách chặt chẽ từ một tập hợp các giả định cơ bản (các tiên đề). Mục tiêu cao cả này nhằm chứng minh rằng các định luật vật lý không phải là những mô tả rời rạc, mà là một lý thuyết thống nhất, chặt chẽ về thực tại.

Trong khuôn khổ của thách thức lớn đó, Hilbert đề xuất một nhiệm vụ cụ thể: xác định xem mô tả vi mô và vĩ mô của một chất khí có dựa trên các nền tảng tiên đề tương đương hay không, và liệu chúng có phải là những biểu hiện khác nhau của cùng một lý thuyết duy nhất. Để giải quyết vấn đề này, các chuyên gia đã cố gắng chuyển đổi phương trình Boltzmann, mô tả chất khí ở cấp độ vi mô như những hạt va chạm ngẫu nhiên, thành các phương trình Navier-Stokes, mô tả chất khí ở cấp độ vĩ mô như một thực thể liên tục, chảy.

Phát Hiện Bất Ngờ: Sự “Thiếu Sót” Của Navier-Stokes

Sau hơn năm nỗ lực miệt mài, một câu trả lời hoàn toàn bất ngờ đã xuất hiện. Phương trình Boltzmann không phải lúc nào cũng chuyển đổi được thành phương trình Navier-Stokes. Điều này có nghĩa là, mặc dù phương trình Navier-Stokes cực kỳ hữu ích trong việc mô hình hóa thời tiết, hải lưu, đường ống, ô tô, cánh máy bay và nhiều hệ thống thủy động lực học khác (thậm chí còn có giải thưởng triệu đô la cho ai tìm ra lời giải chính xác!), chúng lại không hoàn chỉnh.

Các bằng chứng gần đây cho thấy, các phương trình chân thực hơn về động lực học chất lỏng có thể được tìm thấy trong một lý thuyết ít được biết đến hơn, được phát triển bởi nhà toán học và vật lý người Hà Lan Diederik Korteweg vào đầu những năm . Và điều đáng ngạc nhiên hơn nữa là, đối với một số loại khí, ngay cả phương trình Korteweg cũng không đủ, và hoàn toàn không có bức tranh chất lỏng nào có thể mô tả chúng.

Khi Navier-Stokes “Hụt Hơi” Ở Độ Cao

Marshall Slemrod, một nhà toán học tại Đại học Wisconsin, Madison, cho biết: “Navier-Stokes đưa ra những dự đoán rất tốt cho không khí trong phòng”. “Nhưng ở độ cao lớn, và trong các tình huống gần chân không khác, các phương trình này ngày càng kém chính xác.”

Đáng chú ý, kết luận đáng ngạc nhiên này lẽ ra đã có thể đạt được từ rất lâu trước khi Hilbert đặt ra bài toán thứ sáu của mình. Vào năm , một nhà khoa học vĩ đại khác, nhà vật lý người Scotland James Clerk Maxwell, đã chỉ ra rằng các phương trình Navier-Stokes không giải thích được một thí nghiệm gần chân không gọi là “Crookes radiometer” – điều mà dường như Hilbert không hề hay biết. Slemrod nhận xét: “Sẽ rất tốt nếu ông ấy đọc Maxwell.”

Chiếc Đồng Hồ Gió Crookes: Bằng Chứng Rõ Ràng

Crookes radiometer, được phát minh vào năm bởi Sir William Crookes, là một thiết bị có các cánh quạt nhỏ được đặt trong một buồng thủy tinh chân không một phần. Khi tiếp xúc với ánh sáng, các cánh quạt này sẽ quay. Năm , Maxwell đã cố gắng mô tả sự quay của các cánh quạt này bằng cách mô hình hóa không khí mỏng bên trong buồng chân không như một chất lỏng. Maxwell nhận thấy rằng nếu các phương trình “do Giáo sư Stokes đưa ra” (tức là Navier-Stokes) kể lại toàn bộ câu chuyện về chất lỏng, thì các cánh quạt sẽ không quay. Tuy nhiên, sự quay của các cánh quạt có thể được mô hình hóa như một hiệu ứng mao dẫn và được mô tả bởi phương trình Korteweg.

“Đối với các nhà toán học chưa từng bước vào phòng thí nghiệm trong đời, cuối cùng tôi đã thu hút được sự chú ý của họ và nói, ‘Hãy nhìn vật này!’”, Slemrod nói, đề cập đến Crookes radiometer. “Có những điều thực tế đang xảy ra ở đây, và bạn có thể học hỏi từ chúng!”

Hành Trình Khám Phá: Từ Hilbert Đến Karlin và Gorban

Nhiều nhà toán học đã làm việc miệt mài với vấn đề hạt-chất lỏng sau năm , bao gồm cả chính Hilbert. Ông bắt đầu bằng cách viết lại phương trình Boltzmann phức tạp dưới dạng tổng của một chuỗi các số hạng giảm dần. Về lý thuyết, sự phân tách này sẽ dễ dàng được nhận ra là một mô tả vật lý khác, nhưng tương đương về mặt tiên đề, của một chất khí – có lẽ là một mô tả chất lỏng. Tuy nhiên, các số hạng trong chuỗi nhanh chóng trở nên khó kiểm soát; năng lượng, thay vì giảm dần ở những khoảng cách ngày càng ngắn hơn trong khí, dường như lại khuếch đại. Điều này đã ngăn cản Hilbert và những người khác tổng hợp chuỗi và diễn giải nó. Mặc dù vậy, vẫn có lý do để lạc quan: các số hạng đầu tiên của chuỗi trông giống như các phương trình Navier-Stokes khi một chất khí trở nên dày đặc và giống chất lỏng hơn. “Vì vậy, các nhà vật lý đã hài lòng, phần nào,” Ilya Karlin, một nhà vật lý tại ETH Zurich ở Thụy Sĩ, nói. “Nó có trong tất cả các sách giáo khoa.”

Nhưng liệu phương trình Boltzmann, mà nhà vật lý người Áo Ludwig Boltzmann đã phát triển vào năm , có thực sự hội tụ về các phương trình Navier-Stokes, được phát triển hàng thập kỷ trước đó bởi Claude-Louis Navier của Pháp và George Stokes của Ireland và Anh, hay một cái gì đó khác? Câu hỏi vẫn còn bỏ ngỏ. Vào đầu những năm , Karlin, khi đó là một sinh viên làm việc với Alexander Gorban ở Krasnoyarsk, Siberia, đã thử giải quyết chuỗi này một lần nữa.

Karlin và Gorban đã phát triển một mô hình đơn giản hóa của phương trình Boltzmann chứa đựng những khó khăn cơ bản của bản gốc, và mở rộng phương trình mô hình thành một chuỗi. Sau đó, bằng cách sử dụng một vài thủ thuật toán học, họ đã tổng hợp được nó một cách chính xác. Giải pháp không như họ mong đợi. Các phần khuếch đại gây rắc rối của chuỗi đã được gói gọn lại thành một số hạng bổ sung trong giải pháp. Nhiều năm sau, khi Slemrod tình cờ đọc được công trình của các nhà khoa học Nga, ông đã nhận ra ý nghĩa của số hạng đó. “Marshall nhận thấy rằng cấu trúc của các phương trình chính xác xuất phát từ giải pháp của tôi không phải là Navier-Stokes,” Karlin nói, “mà là một cái gì đó rất giống với các phương trình của Korteweg, cho chất lỏng hai pha.”

Sức Mạnh Của Korteweg: Sự Khác Biệt Giữa Nhớt Và Mao Dẫn

Korteweg đã mô hình hóa động lực học của chất lỏng mà trong đó không chỉ có sự tiêu tán năng lượng (đặc trưng bởi phương trình Navier-Stokes) mà còn có sự phân tán năng lượng, hay sự lan truyền năng lượng thành các tần số thành phần của nó, như trong một cầu vồng. Sự tiêu tán là kết quả của độ nhớt của chất lỏng, hay ma sát nội. Nhưng sự phân tán là do mao dẫn – hiệu ứng sức căng bề mặt khiến một số chất lỏng dâng lên trong ống hút. Trong hầu hết các chất lỏng, mao dẫn là không đáng kể so với độ nhớt. Nhưng không phải lúc nào cũng vậy. Và về mặt toán học, nó không bao giờ là không đáng kể. Chính hiệu ứng mao dẫn này, Slemrod lập luận trong một bài báo năm , đã xuất hiện dưới dạng số hạng bổ sung trong giải pháp của Karlin và Gorban cho phương trình giống Boltzmann của họ. Mặc dù phát hiện này chưa được tổng quát hóa cho toàn bộ phương trình Boltzmann, nhưng nó cho thấy rằng mô tả hạt của một chất khí, khi được chuyển đổi thành mô tả chất lỏng, hội tụ không phải về các phương trình Navier-Stokes, mà về các phương trình Korteweg tổng quát hơn, ít nổi tiếng hơn nhiều.

Vượt Ra Ngoài Giới Hạn: Khi Nào “Thủy Động Lực Học” Không Tồn Tại?

Slemrod “đưa ra những lập luận rất vững chắc rằng thủy động lực học của Korteweg có phạm vi ứng dụng rộng hơn nhiều so với Navier-Stokes,” Gorban, hiện là giáo sư toán học ứng dụng tại Đại học Leicester ở Anh, nói. Tuy nhiên, Gorban lưu ý, công trình của ông với Karlin cho thấy một số chất khí hạt thậm chí không thể được mô tả bởi phương trình Korteweg. Khi các tương tác khoảng cách ngắn giữa các hạt trở nên đủ mạnh, chẳng hạn như ở rìa sóng xung kích, ngay cả mao dẫn cũng không thể giải thích hoàn toàn hành vi của chúng, và “không tồn tại thủy động lực học nào cả.”

Ý Nghĩa Và Tầm Quan Trọng

Slemrod hy vọng rằng việc sử dụng phương trình Korteweg thay vì Navier-Stokes sẽ hữu ích cho việc mô hình hóa các chất khí gần chân không, như không khí mỏng xung quanh các vệ tinh quay quanh quỹ đạo. “Hy vọng của tôi là có thể sử dụng phiên bản đã điều chỉnh này gần chân không thay vì phương trình Boltzmann, [một] đối tượng khó giải,” ông nói.

Leo Corry, một nhà sử học toán học tại Đại học Tel Aviv ở Israel, người đã viết một cuốn sách về David Hilbert và bài toán thứ sáu của ông, lưu ý rằng mục tiêu ban đầu của Hilbert dường như đã bị lạc trong các chi tiết của vấn đề hạt-chất lỏng và vẫn chưa được giải quyết. “Hãy chú ý rằng các từ ‘tiên đề’ hay thậm chí ‘nền tảng’ hoặc ‘phân tích khái niệm’ không xuất hiện dù chỉ một lần trong bài đánh giá của Slemrod,” Corry nói.

Nếu có điều gì đó, thì mục tiêu axiomat hóa vật lý của Hilbert càng trở nên khó khăn hơn khi thế kỷ tiến triển. Thách thức lớn hơn nữa so với mối quan hệ phức tạp giữa động lực học hạt và chất lỏng là sự xung đột dường như không thể hòa giải giữa cơ học lượng tử và thuyết tương đối rộng – mô tả tự nhiên ở các thang đo nhỏ hơn và lớn hơn nữa.

Nhưng ngay cả khi vấn đề hạt-chất lỏng không phải là đại diện hoàn hảo cho bài toán thứ sáu, thì nó cũng đã có một đời sống riêng của nó. “Tôi thậm chí sẽ không dám nói rằng nó kém quan trọng hơn những gì Hilbert đã nghĩ đến khi đưa ra bài toán thứ sáu của mình,” Corry nói. “Tôi sẽ không tranh cãi với bất cứ ai nói rằng, thực sự, nó quan trọng và ấn tượng hơn nhiều.”