Cardano vs. Tartaglia: Lời thề độc và sự phản bội

Bốn nấp sau một căn bậc hai của số âm

Xét phương trình $$x^3 = 15x + 4$$ Bất cứ học sinh nào cũng nhìn ra ngay $x = 4$ là một nghiệm: $64 = 60 + 4$. Thế nhưng công thức nghiệm tổng quát của phương trình bậc ba — công thức mà cả một thế hệ nhà toán học Ý phải thề thốt, kiện tụng và quyết đấu vì nó — lại trả về đáp số dưới một hình dạng không ai nhận ra: $$x = \sqrt[3]{2 + \sqrt{-121}} + \sqrt[3]{2 – \sqrt{-121}}$$ Làm sao moi được con số 4 ra khỏi một biểu thức chứa căn bậc hai của số âm?

Chính Gerolamo Cardano, chủ nhân của công thức, đã rùng mình trước nghịch lý này. Ông gọi những đại lượng ấy là ngụy biện, là cực hình tinh thần — nhưng không thể vứt bỏ chúng, vì không có chúng thì công thức sụp đổ. Điều kỳ lạ là phép tính vẫn đúng một cách bí ẩn: vì $(2 + i)^3 = 2 + 11i$, nên biểu thức trên thực chất bằng $(2 + i) + (2 – i) = 4$. Xuất phát từ hệ số thực, đi đến nghiệm thực, mà bắt buộc phải đi xuyên qua lãnh địa của số ảo — đó chính là trường hợp casus irreducibilis, cái bẫy mà mọi phương trình bậc ba có ba nghiệm thực đều mắc phải.

Một công thức buộc người ta phải đi qua điều không thể mới đến được sự thật. Công thức ấy đến từ đâu, và tại sao nó đáng giá bằng một lời thề?

Trận quyết đấu ba mươi bài toán

Để hiểu vì sao một công thức toán học lại đáng giá bằng một lời thề, phải quay về nước Ý thời Phục Hưng. Khi ấy, ghế giảng dạy đại học không phải biên chế suốt đời: danh tiếng và chén cơm của học giả phụ thuộc vào những cuộc quyết đấu toán học công khai — hai bên ra đề cho nhau trước đám đông, ai giải được nhiều hơn thì thắng, kẻ thua mất mặt và mất việc.

Vũ khí bí mật của thời đại ấy là phương trình bậc ba. Khoảng năm 1515, Scipione del Ferro, giáo sư Đại học Bologna, đã tìm ra cách giải dạng phương trình bậc ba khuyết $x^3 + px = q$ — nhưng ông giấu kín, chỉ truyền miệng cho học trò Antonio Maria Fior trước lúc qua đời năm 1526. Fior đem bí mật ấy đi khoe khoang, và đầu tháng 1 năm 1535, hắn thách đấu Niccolò Tartaglia — nhà toán học tự học người Brescia, biệt danh Tartaglia (kẻ nói lắp) từ vết chém của lính Pháp trong vụ thảm sát Brescia năm 1512.

Luật chơi: mỗi người ra 30 bài toán, thời hạn 40 đến 50 ngày, đề thi niêm phong gửi công chứng viên. Fior chơi canh bạc tất tay: cả 30 bài của hắn đều quy về phương trình bậc ba khuyết — hắn tin Tartaglia không thể giải nổi dạng này. Tartaglia thì ra 30 bài đủ mọi thể loại, phơi bày Fior chỉ là tay toán tầm thường.

Đêm 12 rạng ngày 13 tháng 2 năm 1535, linh cảm đến với Tartaglia: ông tìm ra quy tắc giải dạng khuyết. Sáng 13 tháng 2, ông ngồi xuống và giải trọn 30 bài của Fior trong hai giờ. Fior không giải được một bài nào của Tartaglia. Phần thưởng — ba mươi bữa tiệc chiêu đãi — Tartaglia từ chối: với ông, danh dự chiến thắng đã là đủ.

Đêm 25 tháng 3 và hai bản kể mâu thuẫn

Tin thắng trận lan khắp nước Ý, đến tai Cardano — khi ấy là bác sĩ nổi tiếng kiêm giảng viên toán ở Milan, một con người đa tài nhưng đầy tai tiếng: cờ bạc, chiêm tinh, kiện tụng triền miên. Ông viết thư năn nỉ Tartaglia tiết lộ bí mật để đưa vào cuốn sách toán đang soạn. Tartaglia từ chối thẳng: ông còn bận viết sách đạn đạo và dịch Elements của Euclid sang tiếng Ý, và dự định tự mình xuất bản công thức trong một cuốn sách riêng.

Cardano không bỏ cuộc. Ông mời Tartaglia đến Milan, hé lộ khả năng tiến cử ông vào làm việc cho tổng đốc Tây Ban Nha — Marchese del Vasto. Lời mời đúng lúc Tartaglia cần một chỗ dựa, và ngày 25 tháng 3 năm 1539, ông có mặt tại nhà Cardano.

Chuyện gì xảy ra trong căn phòng ấy? Theo lời kể của Tartaglia — người có mặt — Cardano đã đặt tay lên sách Phúc Âm và thề:

“Tôi xin thề với ngài trước sách Phúc Âm thiêng liêng, và bằng danh dự của một quý ông, rằng tôi sẽ không bao giờ công bố những khám phá của ngài, nếu ngài truyền dạy chúng cho tôi. Tôi còn hứa và cam kết bằng đức tin của một Kitô hữu chân chính rằng tôi sẽ ghi chép chúng bằng mật mã, để sau khi tôi chết không ai có thể hiểu được.”

Nhưng khoan. Đây là câu chuyện chỉ có một người kể. Lodovico Ferrari — cậu học trò mười bảy tuổi của Cardano, cũng có mặt trong căn phòng đêm đó — sau này khẳng định công khai: không hề có lời thề nào cả. Lời của một người chống lại lời của người kia, và cả hai đều đã nằm xuống hơn bốn thế kỷ nay.

Điều chắc chắn, không phụ thuộc vào việc lời thề có tồn tại hay không: Tartaglia ra về sau khi đã trao cho Cardano quy tắc giải được mã hóa trong một bài thơ — nhưng giữ lại phần chứng minh. Và tháng 5 năm 1539, cuốn Practica arithmeticae generalis của Cardano ra mắt mà không hề có công thức bậc ba. Ít nhất trong hai năm đầu, Cardano giữ đúng lời.

Người học trò vượt mặt thầy, và cuốn sổ tay ở Bologna

Vấn đề là Cardano quá giỏi. Chỉ với quy tắc không chứng minh, ông và cậu học trò Ferrari lần ra toàn bộ nền tảng toán học đằng sau nó. Bằng phép thế $x = t – \frac{b}{3a}$, họ biến mọi phương trình bậc ba tổng quát thành dạng khuyết — tức là giải được mọi phương trình bậc ba. Ferrari còn đi xa hơn: quy phương trình bậc bốn về bậc ba, giải được cả phương trình bậc bốn. Cardano đem tất cả dạy lại cho Ferrari, bất chấp lời thề.

Công thức cho phương trình bậc ba dạng khuyết $x^3 + px = q$ — ngày nay mang tên công thức Cardano — có dạng:

$$x = \sqrt[3]{\frac{q}{2} + \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}} + \sqrt[3]{\frac{q}{2} – \sqrt{\left(\frac{q}{2}\right)^2 + \left(\frac{p}{3}\right)^3}}$$

Cardano khao khát công bố, nhưng mọi thứ đều mọc ra từ hạt giống của Tartaglia. Rồi năm 1543, trong chuyến đi Bologna, ông và Ferrari được Annibale della Nave — con rể và người kế nhiệm del Ferro — cho xem sổ tay viết tay của chính del Ferro: bằng chứng rõ ràng rằng khoảng hai mươi năm trước, del Ferro đã tìm ra đúng lời giải ấy. Trong đầu Cardano, phát hiện này gỡ bỏ xiềng xích của lời thề.

Năm 1545, sáu năm sau đêm thề ở Milan, Ars Magna ra mắt tại Nuremberg, do Johannes Petreius ấn hành. Cuốn sách công bố công thức nghiệm phương trình bậc ba và bậc bốn — một trong ba công trình khoa học vĩ đại nhất đầu thời Phục Hưng, sánh vai với Copernicus và Vesalius. Cần nói cho công bằng: Cardano có ghi công cả del Ferro lẫn Tartaglia trong sách. Nhưng với Tartaglia, thế là chưa đủ — đó là bí mật ông thề giữ, và là vũ khí sinh tồn của ông.

Tinh tế đến mức vô dụng

Chính trong lúc vật lộn với công thức này, Cardano vấp phải nghịch lý đã mở đầu câu chuyện — con số 4 nấp sau căn bậc hai của số âm. Nhưng chưa hết. Ở chương 37 của Ars Magna, ông nêu một bài toán ngây thơ: chia 10 thành hai phần có tích bằng 40. Đáp số là $5 + \sqrt{-15}$ và $5 – \sqrt{-15}$. Ông gạt sang một bên những cực hình tinh thần, nhân thử: $(5 + \sqrt{-15})(5 – \sqrt{-15}) = 25 + 15 = 40$ — đúng. Rồi ông khép lại bằng một câu nổi tiếng: adeo est subtile, ut sit inutile — tinh tế đến mức vô dụng.

Ông đã lầm về chữ vô dụng. Đó là lần đầu tiên trong lịch sử, căn bậc hai của số âm xuất hiện trong toán học — mầm mống của số phức, thứ mà Rafael Bombelli sau này mới lý giải thấu đáo, và hai thế kỷ sau trở thành nền tảng của cả vật lý hiện đại.

Cuộc chiến kéo dài cả thập kỷ

Năm 1546, Tartaglia xuất bản Quesiti et Inventioni Diverse, công kích Cardano thậm tệ vì bội ước. Ferrari đáp trả bằng những tờ thách đấu, hai bên đấu khẩu qua lại suốt hai năm. Đỉnh điểm là cuộc tranh biện công khai ngày 10 tháng 8 năm 1548 tại nhà thờ Santa Maria del Giardino ở Milan. Cardano không đến — ông cử Ferrari, khi ấy đã là nhà toán học ngang tầm thầy, ra mặt.

Tartaglia bỏ về ngay sau buổi đầu tiên, giữa đám đông Milan vốn nghiêng về phía chủ nhà. Ferrari được tuyên bố thắng cuộc. Cái giá còn đắt hơn danh dự: Tartaglia mất luôn suất giảng dạy đã hứa hẹn ở Brescia. Ông lui về Venice, sống nghèo khó cho đến khi qua đời năm 1557.

Ai đúng, ai sai?

Bốn thế kỷ sau, câu hỏi vẫn không có đáp án gọn gàng. Bằng chứng sổ tay cho thấy del Ferro mới là người đầu tiên tìm ra lời giải, khoảng năm 1515 — Tartaglia chỉ là người thứ hai, dù độc lập. Lời thề độc chỉ tồn tại trong lời kể một phía, bị chính nhân chứng thứ ba phủ nhận. Cardano thì đã ghi công cả hai người trong Ars Magna.

Nhưng cũng không thể phủ nhận: chính hành động công bố ấy — phản bội hay không — đã mở toang cánh cửa đại số hiện đại và vô tình sinh ra số phức. Có lẽ bài học lớn nhất của câu chuyện không nằm ở chuyện ai thề với ai, mà ở chỗ: một ý tưởng đủ lớn sẽ luôn lớn hơn những con người tranh giành nó.